[2016년 백석고]

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[2학년(이과) 1학기 기말 확률과 통계]

통 속에 빨간색 막대 [eqn: 7]개, 파란색 막대 [eqn: 3]개가 들어 있다. 이 통에서 막대 [eqn: 4]개를 꺼낼 때, 빨간색 막대가 [eqn: 2]개, 파란색 막대가 [eqn: 2]개 나올 확률은? [4.0점]

③

① [eqn: 1over 10]	② [eqn: 1 over 5]	③ [eqn: 3 over 10]

④ [eqn: 2 over 5]	⑤ [eqn: 1 over 2]

한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 합이 [eqn: 9]이거나 차가 [eqn: 3]일 확률은? [4.0점]

①

① [eqn: 2 over 9]	② [eqn: 1 over 9]	③ [eqn: 1 over 6]

④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 18]

각 면에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 정사면체 모양의 상자를 세 번 던질 때 밑면의 숫자를 차례로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 하자. 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 [eqn: a != bc]를 만족시킬 확률이 [eqn: q over p]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.1점]

④

① [eqn: 9]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

[eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 9]의 정수가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 10]장의 카드 중에서 임의로 꺼낸 한 장의 카드에 적힌 수를 [eqn: a]라 하고, 남은 [eqn: 9]장의 카드 중 임의로 꺼낸 한 장의 카드에 적힌 수를 [eqn: b]라 하자. 이때 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수가 각각 [eqn: 3], [eqn: a], [eqn: b]인 세 자리 자연수가 [eqn: 6]의 배수가 될 확률은? [4.1점]

④

① [eqn: 1 over 10]	② [eqn: 2 over 15]	③ [eqn: 13 over 90]

④ [eqn: 1 over 6]	⑤ [eqn: 7 over 45]

흰 공 [eqn: 3]개와 검은 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니가 있다. [eqn: 1]개의 주사위를 던져서 [eqn: 2] 이하의 눈이 나오면 흰 공 [eqn: 1]개를 주머니에 넣고, [eqn: 3] 이상의 눈이 나오면 검은 공 [eqn: 1]개를 주머니에 넣은 후 이 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 서로 다른 색의 공이 나올 확률은? [4.2점]

②

① [eqn: 22 over 45]	② [eqn: 26 over 45]	③ [eqn: 28 over 45]

④ [eqn: 8 over 15]	⑤ [eqn: 2 over 3]

그림과 같이 평행한 두 직선 [eqn: l,~m] 위에 각각 [eqn: 4]개, [eqn: 5]개의 점이 있고, 직선 위의 이웃하는 두 점 사이의 거리는 [eqn: 1], 두 직선 사이의 거리는 [eqn: 2]이다. 이 중에서 임의로 [eqn: 3]개의 점을 택하여 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 만들려고 한다. 넓이가 [eqn: 2] 이상인 삼각형 중에서 임의로 한 삼각형을 선택하였을 때, 그 삼각형의 넓이가 [eqn: 3]일 확률은? [4.2점]

①

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 3 over 13]	③ [eqn: 17 over 39]

④ [eqn: 13 over 84]	⑤ [eqn: 17 over 84]

각 면에 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 4]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 상자가 있다. 갑, 을, 병 세 사람이 갑, 을, 병의 순서로 정육면체 모양의 상자를 던져서 가장 먼저 윗면에 적힌 수가 홀수의 눈이 나오는 사람이 승자가 되는 게임을 하고자 한다. 갑이 먼저 시작하여 승자가 결정될 때까지 상자를 던진다고 할 때, 갑이 승자가 될 확률을 [eqn: p_1], 병이 승자가 될 확률을 [eqn: p_2]라 하자. [eqn: p_2 over p_1]의 값은? (단, 정육면체 모양의 상자의 모든 면이 나올 확률은 같다.) [4.4점]

⑤

① [eqn: 1 over 27]	② [eqn: 1 over 13]	③ [eqn: 2 over 13]

④ [eqn: 2 over 9]	⑤ [eqn: 1 over 9]

한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수의 양의 약수의 개수가 홀수이면 한 개의 동전을 [eqn: n]번 던지고, 나온 눈의 수의 양의 약수의 개수가 짝수이면 한 개의 동전을 [eqn: n+2]번 던지기로 한다. 이러한 시행에서 동전의 앞면이 나온 횟수가 [eqn: 2]일 때, 주사위를 던져 나온 눈의 수의 양의 약수의 개수가 짝수일 확률이 [eqn: 5over 9]이다. [eqn: n]의 값은? (단, [eqn: n]은 [eqn: 2] 이상인 자연수이다.) [4.4점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: 3]학년에 [eqn: 7]개의 반이 있는 어느 고등학교에서 토너먼트 방식으로 다음과 같은 형태의 대진표를 만들어 축구 시합을 하려고 한다. 다음과 같이 [eqn: 1]반과 [eqn: 3]반은 이미 예선에서 축구 시합을 하기로 결정되어 있을 때, [eqn: 1]반과 [eqn: 2]반이 축구 시합을 할 확률은? (단, 각 반이 시합에서 이길 확률은 모두 [eqn: 1over 2]이고, 기권하는 반은 없다.) [4.6점]

②

① [eqn: 7 over 48]	② [eqn: 3 over 20]	③ [eqn: 3 over 16]

④ [eqn: 1 over 16]	⑤ [eqn: 1 over 12]

집합 [eqn: X=left{1,```2,```3right}], [eqn: Y=left{1,```2,```3,```4right], [eqn: Z=left{0,```1right}]에 대하여 조건 (가)를 만족시키는 모든 함수 [eqn: f :X->Y] 중에서 임의로 하나를 선택하고, 조건 (나)를 만족시키는 모든 함수 [eqn: g:Y->Z] 중에서 임의로 하나를 선택하여 합성함수 [eqn: g CIRC f:X ->Z]를 만들 때, 이 합성함수의 치역이 [eqn: Z]일 확률은? [4.6점]

⑤

(가) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: i], [eqn: j]에 대하여

[eqn: i<j]이면 [eqn: f(i)le f(j)]이다.

(나) 함수 [eqn: g]의 치역은 [eqn: Z]이다.

① [eqn: 6 over 35]	② [eqn: 9 over 35]	③ [eqn: 12 over 35]

④ [eqn: 14 over 35]	⑤ [eqn: 18 over 35]

꺼져 있는 전구 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] [eqn: 3]개가 있다. 이 전구는 다음 규칙에 따라 전구의 전원 스위치를 작동하고, 전원 스위치를 작동하면 꺼져 있는 전구는 켜지고, 켜져 있는 전구는 꺼지도록 되어 있다.

[eqn: 5]번째에 전구 [eqn: rmA]의 전원 스위치를 작동하여 처음으로 세 전구 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 모두 켜지게 될 확률은? [4.7점]

ㅇ 동전을 던져 앞면이 나오면

전구 [eqn: rmA]의 전원 스위치를 작동한다.

ㅇ 동전을 던져 뒷면이 나오면 주사위를 한 번

던진다. 주사위를 한 번 던져 소수의 눈이 나오면

전구 [eqn: rmB]의 전원 스위치를 작동하고, 소수의 눈이

나오지 않으면 전구 [eqn: rmC]의 전원 스위치를 작동한다.

①

① [eqn: 1 over 16]	② [eqn: 3 over 16]	③ [eqn: 3 over 32]

④ [eqn: 3 over 64]	⑤ [eqn: 7 over 64]

자연수 [eqn: n]에 대하여 한 개의 주사위를 [eqn: 2n+1]번 던지는 시행에서 [eqn: 3]의 배수인 눈의 수가 나오는 횟수를 [eqn: a], [eqn: 3]의 배수가 아닌 눈의 수가 나오는 횟수를 [eqn: b]라 하자. [eqn: 0 le a-b<4]이고, [eqn: i^a-b =- i]을 만족시킬 확률을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf {f(n+1)} over f(n) = q over p]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.7점]

④

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

단답형

주머니 속에 [eqn: 10]개의 구슬이 들어 있고, 그 중 [eqn: n]개가 흰 구슬이다. 이 주머니에서 구슬 [eqn: 3]개를 꺼낼 때, [eqn: 3]개가 모두 흰 구슬일 확률이 [eqn: 1over 6]이라고 한다. [eqn: n]의 값을 구하시오. [4.0점]

[eqn: 6]

주머니 안에 흰 공 [eqn: n]개, 검은 공 [eqn: n+2]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 공을 한 개씩 두 번 꺼낼 때, 흰 공이 적어도 [eqn: 1]번 나올 확률을 [eqn: p_1], 검은 공이 적어도 한 번 나올 확률을 [eqn: p_2]라 하자. [eqn: p_2 - p_1 = 1over 8]일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: n]은 자연수이고, 꺼낸 공은 주머니에 다시 넣는다.) [5.0점]

[eqn: 7]

표본공간 [eqn: S= LEFT { x`|`x는```8```이하의```자연수 RIGHT }]에서 임의로 [eqn: 1]개를 택하는 시행에서 홀수가 나오는 사건을 [eqn: A]라 할 때, 다음 물음에 답하시오. [총 7.0점]

(1) [eqn: 8]	(2) [eqn: 12 over 23]

(1) [eqn: 8] 이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n]의 양의 약수가 나오는

사건을 [eqn: B_n]이라 할 때, 두 사건 [eqn: A,~B_n]이 서로 독립이

되도록 하는 [eqn: n]의 값들의 합을 구하시오. [3.0점]

(2) 표본공간 [eqn: S]의 임의의 부분집합인 사건 [eqn: B]에 대하여

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이 될 때, [eqn: n(B) =4]일 확률을

구하시오. (단, [eqn: n(B)]는 사건 [eqn: B]의 원소의 개수이다.)

[4.0점]

삼차함수 [eqn: f(x)=x^3 -3x ^{2} -9x+28]에 대하여 함수 [eqn: |`f(x) -t`|]의 미분불가능한 점의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: h(t)]에 대하여 함수 [eqn: g(t)h(t)]가 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 연속일 때, 다음 물음에 답하시오. [총 7.0점]

(1) [eqn: 30]	(2) [eqn: 11 over 31]

(1) 함수 [eqn: g(t)]에 대하여 [eqn: lim_{t->c-} g(t) > lim _{t->c+} g(t)]를 만족하는 상수

[eqn: c]의 값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: m-g(4)]의 값을 구하시오. [3.0점]

(2) 자연수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: h(t)<0]일 때, [eqn: t]의 값이 소수일 확률을

구하시오. [4.0점]

서술형

서로 독립인 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: 3P(A`|`B) =P(B`|`A)],
[eqn: P(A^c cup B^c ) = 13 over 16]일 때, [eqn: P(A cap B^c )]의 값을 구하고, 그 과정을
서술하시오. (단, [eqn: A^c]은 사건 [eqn: A]의 여사건이다.) [5.0점]

[eqn: 1 over 16]

어느 고등학교 자연계열 학생은 물리Ⅱ, 화학Ⅱ, 생명과학Ⅱ, 지구과학Ⅱ [eqn: 4]과목 중 [eqn: 1]과목을 선택하여야 한다. 자연계열 학생 [eqn: 200]명을 대상으로 선택과목별 신청현황을 조사한 결과는 다음 표와 같다.

					(단위 : 명)
구분	물리Ⅱ	화학Ⅱ		생명과학Ⅱ	지구과학Ⅱ	계
남학생	[eqn: 32 -a]	[eqn: 38+a]		[eqn: 50-b]	[eqn: b]	[eqn: 120]
여학생	[eqn: a]	[eqn: 15+b]		[eqn: 47-a]	[eqn: 18-b]	[eqn: 80]

다음 두 조건을 만족하도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: 22]

(가) 자연계열 학생 [eqn: 200]명의 학생 중 물리Ⅱ 또는

지구과학Ⅱ를 선택하는 사건을 [eqn: A], 남학생일

사건을 [eqn: B]라 할 때, 두 사건 [eqn: A,~B]는 서로

독립이다.

(나) 자연계열 학생 [eqn: 200]명 중 임의로 선택한 [eqn: 1]명이

남학생이었을 때, 그 학생이 생명과학Ⅱ를

선택했을 확률을 [eqn: p_1], 임의로 선택한 [eqn: 1]명이

화학Ⅱ를 선택하였을 때, 여학생일 확률을

[eqn: p_2]라 할 때, [eqn: p_1 = p_2]이다.

서로 같은 종류의 볼펜 [eqn: 15]개를 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C] [eqn: 3]명의 학생에게 각각 적어도 한 개씩 받도록 나누어 주려고 한다. [eqn: A] 학생이 받은 볼펜의 개수가 [eqn: 4]개 이상일 때, [eqn: B] 학생이 받은 볼펜의 개수가 [eqn: 3]개 이하일 확률은 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [6.0점]

[eqn: 82]

놀부는 생일잔치에 모인 사람들 앞에서 동생 흥부에게 다음과 같이 약속하였다.

각각의 항아리에 적어도 [eqn: 2]개의 콩을 포함하여 흰 콩 [eqn: 3]개, 검은 콩 [eqn: 3]개를 항아리 [eqn: 2]개에 남김없이 나누어 넣는 모든 경우에 대하여 흰 콩을 뽑는 확률을 구하고, 흥부가 음식을 얻기 위하여 두 항아리에 콩을 어떻게 나누어 넣는 것이 가장 확률이 높은지를 설명하시오. [7.0점]

“여기에 똑같은 항아리 [eqn: 2]개, 흰 콩 [eqn: 3]개, 검은 콩 [eqn: 3]개가 있다. 네 마음대로 콩을 항아리에 남김없이 나누어 넣어라. 다만, 각각의 항아리에 적어도 [eqn: 2]개의 콩을 넣어야 한다. 다 나누어 넣고 나면 네 눈을 가리고 항아리의 위치를 바꾸겠다. 너는 두 항아리 중 하나를 골라 그 항아리에서 콩 [eqn: 1]개를 꺼내라. 만일 이 콩이 흰 콩이면 너희 식구가 배부르게 먹을 수 있는 음식을 주겠다. 그러나 그 콩이 검은 콩이라면 아무것도 주지 않겠다.”

(흰 콩 [eqn: 2]개), (흰 콩 [eqn: 1]개와 검은 콩 [eqn: 3]개)

[2016년 백석고]

[2학년(이과) 1학기 기말 확률과 통계]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com